Оскільки у вершинах опуклого багатогранника не можуть сходитися правильні багатокутники з числом сторін більше п'яти, то, використовуючи теорему Коші про жорсткість опуклого багатогранника, отримуємо, що інших правильних багатогранників не існує, і таким чином, є тільки п'ять правильних багатогранників: тетраедр, …
Правильних багатогранників існує всього 5. Перерахуємо їх. Правильний тетраедр – багатогранник, складений із чотирьох рівносторонніх трикутників. Кожна його вершина є вершиною трьох трикутників, отже, сума плоских кутів при кожній вершині дорівнює 180.
Список правильних багатогранників
| Правильний багатогранник | Число вершин | Число ребер |
|---|---|---|
| Гексаедр | 8 | 12 |
| Октаедр | 6 | 12 |
| Додекаедр | 20 | 30 |
| Ікосаедр | 12 | 30 |
З визначення правильного багатогранника випливає, що гранями правильного багатогранника можуть бути три види правильних багатокутників: трикутники, чотирикутники та п'ятикутники. Справді, грані не можуть бути шестикутникамиоскільки в кожній вершині повинні сходитися не менше трьох граней.