Оскільки у вершинах опуклого багатогранника не можуть сходитися правильні багатокутники з кількістю сторін більше п'яти, то, використовуючи теорему Коші про жорсткість опуклого багатогранника, отримуємо, що інших правильних багатогранників не існує, і таким чином, є тільки п'ять правильних багатогранників: тетраедр, …
Правильних багатогранників існує всього 5. Перерахуємо їх. Правильний тетраедр – багатогранник, складений із чотирьох рівносторонніх трикутників. Кожна його вершина є вершиною трьох трикутників, отже, сума плоских кутів при кожній вершині дорівнює 180.
На відміну від п'яти класичних правильних багатогранників (Платонових тіл), дані багатогранники не є опуклими тілами. У 1811 році Огюстен Лу Коші встановив, що існують всього 4 правильних зірчастих тіла (вони називаються тілами Кеплера — Пуансо), які є сполуками Платонових і зірчастих тел.
Існує шість опуклих і десять зірчастих правильних 4-мірних багатогранників, Загалом шістнадцять.